Matemática: Probabilidade - Exercícios Resolvidos.

1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

A probabilidade desta bola ser verde é ⁵/₁₂

2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?

Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas.

Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.

Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:

A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a ¹/₄, ou 0,25, ou ainda 25%.

3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.

Então:

A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.

4) Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa?

Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra, como em cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:

n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5.

k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1.

p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4.

q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6.

Substituindo tais valores na fórmula temos:

O número binomial  é assim resolvido:

Então temos:

Assim:

A probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592.

5) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?

Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula  e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar .

Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.

Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula:

Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos.

O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a ^7/₁₄:

Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a ^2/₁₄:

Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então ^7/₁₄ passaria a ^1/₂ e ^2/₁₄ a ^1/₇, no entanto isto não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum:

Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos:

Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, ^5/₁₄. Então a probabilidade de não se obter ficha azul é9 em 14, pois:

O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral.

Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma ficha azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção.

A probabilidade de ela ser verde ou amarela é ⁹/₁₄.

6) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel?

A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual ¹/₂.

A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é ³/₈ e como a probabilidade de escolhermos a primeira travessa é ¹/₂, temos:

A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é ⁴/₆ e como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a ¹/₂, temos:

Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a:

A probabilidade de se ter pegado um pastel é ²⁵/₄₈.

7) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?

Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:

A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }

Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4:

B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }

Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo .

Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção, temos:

Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:

Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que se repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).

A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é ¹³/₂₈.

8) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, vermelha e branca?

No evento E₁ a probabilidade de tirarmos uma bola verde é de 4 em 16:

Como não há reposição, a cada retirada o número de elementos do espaço amostral diminui em uma unidade.

No evento E₂ a probabilidade de tirarmos uma bola azul é de 4 em 15:

No evento E₃ a probabilidade de tirarmos uma bola vermelha é de 4 em 14:

No evento E₄ a probabilidade de tirarmos uma bola branca é de 4 em 13:

Finalmente a probabilidade de tirarmos as bolas conforme as restrições do enunciado é:

A probabilidade é ⁸/₁₃₆₅.

9) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?

Chamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que representa o curso de inglês.

Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula:

Segundo o enunciado  e , então:

Note que no caso da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade em função do número de elementos do espaço amostral, a calculamos em função do número de elementos do evento que já ocorreu.

A probabilidade do aluno também estar cursando o curso de espanhol é ²/₅.

10) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

Vamos representar por E₃ o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 3:

E₃ = { 3, 6, 9, 12, 15 }

E por E₄ vamos representar o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 4:

E₄ = { 4, 8, 12 }

O espaço amostral é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é:

A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é:

Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais eventos não são mutuamente exclusivos. Como podemos ver, o número 12 está contido tanto em E₃ quanto em E₄, ou seja:

A probabilidade da intersecção é:

Portanto:

A probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é ⁷/₁₅.